4 SYSTEMATISCHE NATUURKUNDE
Naam
Klas
4 VWO
4
VWO
Systematische Natuurkunde
Beste leerling,
Je gaat aan de slag met Systematische Natuurkunde. In de leerboeken van Systematische Natuurkunde vind je alles wat je nodig hebt voor je eindexamen en leer je het belang van natuurkunde voor de maatschappij begrijpen.
We wensen je veel succes en plezier met het vak natuurkunde!
Team Systematische Natuurkunde
4 VWO
Systematische Natuurkunde
Auteurs
Matthijs Alderliesten
Iulia Boamfa-Ivan
Maxime Jonker
Arjan Keurentjes
René de Jong
Hein Vink
Eindredactie
Harrie Ottink
Eindredactie digitaal
Evert-Jan Nijhof
INHOUD
1 BASISVAARDIGHEDEN
1.1
1.4
1.6 Diagrammen:
1.7
2
2.1
3
3.1
3.2
3.4
3.5
4
4.5
5
SYSTEMEN
5.1 Elektrische stroom en spanning
5.2 Weerstand en de wet van Ohm
5.3 Serie- en parallelschakelingen
5.4 Gemengde schakelingen en sensoren
5.5 Gebruik van elektrische energie
5.6 Afsluiting
6
6.1 Eenparige cirkelbeweging
6.2 Middelpuntzoekende kracht
6.3
6.4
van uitkomsten
examenopgaven
LEERJAAR 5 VWO (EDITIE 11)
Hoofdstuk 7 Onderzoeken, ontwerpen, modelleren
Hoofdstuk 8 Arbeid en energie
Hoofdstuk 9 Trillingen en golven
Hoofdstuk 10 Elektromagnetisme
LEERJAAR 6 VWO (EDITIE 11)
Hoofdstuk 11 Medische beeldvorming
Hoofdstuk 12 Astrofysica
Hoofdstuk 13 Quantumwereld
In je boek vind je
■ Theorie
■ Opgaven
■ Checklist begrippen en leerdoelen
■ Samenvatting
■ Eindopgaven
Ga
CHECKLIST BEGRIPPEN
Online vind je
■ Startvragen
■ Theorie
■ Verder werken (extra opgaven)
■ Zelftoets
Hoofdstuk 3 Krachten
3.5 AFSLUITING Je bent aan het einde gekomen van dit hoofdstuk. Neem de samenvatting goed door en controleer jezelf met de online zelftoets. Maak de eindopgaven als voorbereiding op een toets of examen. Samenvatting In dit hoofdstuk heb je kennisgemaakt met verschillende krachten. Een kracht heeft een grootte, een richting, een aangrijpingspunt en een werklijn. Verschuif je een kracht bij een rechtlijnige beweging langs de werklijn, dan verandert het gevolg van de kracht niet. Als twee of meer krachten werken op hetzelfde voorwerp, kun je alle krachten samenstellen tot één resulterende kracht. De resulterende kracht heeft hetzelfde gevolg als de afzonderlijke krachten samen. Maken de werklijnen van twee krachten een hoek met elkaar, dan gebruik je de parallellogrammethode om de resulterende kracht te construeren. In een tekening op schaal bepaal je de grootte van een kracht met behulp van metingen en de krachtenschaal. Een kracht ontbind je in twee krachten met de omgekeerde parallellogrammethode. Je moet dan de werklijnen van die twee krachten weten. Als een voorwerp op het punt staat te gaan bewegen of als het beweegt staan die werklijnen loodrecht op elkaar: één in een mogelijke bewegingsrichting en de andere loodrecht erop.
OPGAVEN MAKEN
150
■ De opgaven staan in je boek.
■ Met de Checklist begrippen en leerdoelen breng je voor jezelf in kaart in hoeverre je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en welke opgaven je nog eens gaat bestuderen.
■ In de Checklist zie je ook aan welk beheersingsniveau van TIMSS de opgaven gekoppeld zijn: weten, toepassen of redeneren. Meer uitleg hierover vind je op de volgende pagina.
■ Onder de Checklist zie je of je online kunt verder werken met extra opgaven die aansluiten bij de stof die je tot dan toe hebt behandeld.
HET HOOFDSTuK AFSLuITEN
■ De Afsluiting van het hoofdstuk begint met een samenvatting van de theorie. Je vindt hier ook een overzicht van alle formules. Je kunt zo alles nog eens op een rijtje zetten voor de toets.
■ Met de online zelftoets controleer je of je de leerstof beheerst.
■ De eindopgaven gaan over meerdere hoofdstukken en zijn op examenniveau. Maak ze als voorbereiding op een toets of examen.
TAXONOMIE VAN TIMSS
TIMSS* is een internationale taxonomie, speciaal gericht op bètaonderwijs. De drie beheersingsniveaus (weten, toepassen, redeneren) geven aan welke denkvaardigheden je nodig hebt bij de verschillende opgaven.
■ Weten: Je bent in staat om, bij natuurkundige verschijnselen en waarnemingen, vakbegrippen en procedures te benoemen, te herkennen en toe te lichten.
■ Toepassen: Je kunt concepten en vakbegrippen met elkaar in verband brengen en koppelen aan een specifieke context om zo tot een oplossing te komen bij een praktisch probleem of praktische vraag.
■ Redeneren: Je kunt concepten en vakbegrippen toepassen in onbekende en/of complexe contexten of vraagstellingen. Je bent ook in staat om, vanuit de gegeven context en de beheersing van de vakgerelateerde concepten, een situatie te analyseren, voorspellingen en generalisaties uit te voeren en conclusies te trekken.
*Trends In Mathematics and Science Study
VERWIJZINGEN IN HET BOEK
In het boek tref je naast QR-codes ook verwijzingen naar online onderdelen.
■ Verwijst naar de applets of online extra’s.
■ Er is op de docentensite een practicum beschikbaar. Je docent bepaalt wanneer en op welke manier je een practicum aangeboden krijgt.
■ Verwijzing naar onderdelen die in de online leeromgeving staan.
1 Basisvaardigheden
Voordat je een draadje kunt vastmaken op een chip, moet je veel onderzoek doen. De resultaten gaan de hele wereld over. Daarom zijn er allerlei afspraken over hoe je meetresultaten weergeeft.
Daarbij gaat het niet alleen om grootheden en eenheden, maar ook om tabellen en diagrammen.
Ook de nauwkeurigheid van een meetresultaat is van belang.
In dit hoofdstuk staan de belangrijkste afspraken.
STARTVRAGEN
Wat weet je al over basisvaardigheden? Met de startvragen maak je kennis met dit onderwerp en kijk je wat je al weet.
1.1 Meetvaardigheden
Gemiddelde lengte
Esther 175 180 172 165 192 183 177 188 189 180
Figuur 1
In de tabel ontbreekt de eenheid. Daardoor lijkt het alsof Esther en Patrick verschillende dingen hebben gemeten.
Doe je een meting, dan moet je behalve de grootheid ook de eenheid vermelden. Zonder eenheid is een meting onvolledig. Elke meting van een grootheid druk je dus uit in een getal en een eenheid. In figuur 1 heeft Esther de eenheid cm gebruikt. De gemiddelde lengte die Esther heeft gemeten is 180 keer 1 cm. Je noteert ℓ = 180 cm. Er geldt dus:
grootheid = getal × eenheid
In boeken worden de symbolen van grootheden weergegeven met cursieve letters en de symbolen van eenheden met rechtopstaande letters.
De Griekse letter π (uitspraak pi) kom je tegen in formules zoals de omtrek en oppervlakte van een cirkel. Omdat π een getal is, wordt het met een rechtopstaand symbool weergegeven.
Het internationale eenhedenstelsel (SI)
Internationaal zijn afspraken gemaakt over de eenheid waarin je een grootheid noteert. Deze afspraken zijn vastgelegd in het internationale eenhedenstelsel, het Système International d’Unités, kortweg SI. Er zijn zeven basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Zie de tabel van figuur 2.
Basisgrootheid Symbool
Grondeenheid Symbool lengte ℓ meter m massa m kilogram kg tijd t seconde s
stroomsterkte I ampère A
temperatuur T kelvin K lichtsterkte I candela cd
hoeveelheid stof n mol mol
Figuur 2
De grootheden en eenheden uit figuur 2 vind je ook in Binas tabel 3 met daarbij een beschrijving van de definities van de grondeenheden. De definities zijn moeilijk te begrijpen. Zij hangen samen met bijzondere meettechnieken.
Afgeleide grootheid en eenheid
Alle andere grootheden dan de basisgrootheden noem je afgeleide grootheden. De bijbehorende eenheid heet een afgeleide eenheid. Een afgeleide eenheid kun je uitdrukken in de grondeenheden. Zie de tabel van figuur 3. In Binas tabel 4 staan veel afgeleide grootheden en de erbij behorende eenheden.
Afgeleide grootheid Symbool Afgeleide eenheid Symbool oppervlakte A vierkante meter m 2
volume V kubieke meter m 3
dichtheid ρ kilogram per kubieke meter kg /m 3
snelheid v meter per seconde m/s
Figuur 3
Voorvoegsel en vermenigvuldigingsfactor
Als voor een eenheid een voorvoegsel staat, dan is dat een vermenigvuldigingsfactor. In de tabel van figuur 4a zie je de betekenis van veelgebruikte voorvoegsels. Ga je van een grote eenheid naar een kleine eenheid, dan vermenigvuldig je een aantal keren met tien. Andersom deel je. Zie figuur 4b. Wil je een aantal km omrekenen naar cm, dan zijn vijf stappen nodig. Je vermenigvuldigt dan vijf keer met factor 10. Dat betekent vermenigvuldigen met 100 000. Omrekenen van cm naar km betekent delen door 100 000.
1000 kilo k
100 hecto h 10 deca da 1
0,1 deci d 0,01 centi c 0,001 milli m
Figuur 4
Op schaal
Op een landkaart vind je een lengteschaal. Die kan zijn weergegeven met een verhouding of met een lijnstukje met daarbij de werkelijke afstand. Zie figuur 5.
Figuur 5
1.1 Meetvaardigheden
In figuur 5a staat 1 : 50 000. Dat betekent dat 1 cm op de kaart overeenkomt met 50 000 cm in werkelijkheid.
In figuur 5b is de schaal 1 : 50 000 weergegeven met een lijnstuk, verdeeld in cm. Als 1 cm overeenkomt met 50 000 cm, dan komt 1 cm dus overeen met 500 m oftewel 0,5 km. Het lijnstuk van 5 cm komt dus overeen met 2,5 km
Rekenen met verhoudingen
De Markthal in Rotterdam is een complex met woningen over een markthal. Zie figuur 6.
Tussen de binnen- en de buitenboog bevinden zich de woningen. Jules en Loes willen de hoogte van het gebouw bepalen met behulp van de foto en een meetlint. Zie figuur 7.
Ze meten de breedte tussen de binnen- en de buitenboog aan de rechterkant en vinden 17,5 m. Op de foto is de breedte 1,9 cm. Deze meetwaarde komt dus overeen met 17,5 m in werkelijkheid. Dit kun je met een verkorte schrijfwijze als volgt weergeven: 1,9 cm ≙ 17,5 m.
Het teken ≙ betekent ‘komt overeen met’.
1,0 cm op de foto is dan gelijk aan 17,5 1,9 m. Dit noem je ‘het op 1 brengen’.
De hoogte van het gebouw op de foto is 4,4 cm. De werkelijke hoogte van het gebouw is dan
4,4 × 17,5 1,9 = 40,5 m
Kruisproduct
De meetwaarden met eenheden en de hoogte h kun je ook als volgt noteren:
1,9 cm ≙ 17,5 m
4,4 cm ≙ h
De meetwaarden en eenheden die bij elkaar horen staan onder elkaar. In de eerste kolom staan de getallen die horen bij ‘meten op de foto’, in de tweede kolom de getallen die horen bij de werkelijkheid. Dit betekent dat m de eenheid van h is.
De producten van de getallen die schuin tegenover elkaar liggen zijn gelijk:
1,9 × h = 4,4 × 17,5
Zo’n vergelijking noem je het kruisproduct. Als drie van de vier waarden bekend zijn, kun je met het kruisproduct de onbekende waarde uitrekenen. Je deelt dan het product van de twee waarden die schuin tegenover elkaar staan door de derde bekende waarde. Zo geldt voor de berekening van de hoogte van het gebouw: h = 4,4 × 17,5 1,9 = 40,5 m
Je ziet dat 4,4 × 17,5 1,9 op hetzelfde neerkomt als 4,4 × 17,5 1,9 bij ‘het op 1 brengen’.
Figuur 6
Figuur 7
Bij deze berekening is meteen duidelijk wat je op 100% moet stellen. Maar dat is niet altijd zo. Het is van belang dat je bij het rekenen met percentages eerst in beeld krijgt wat 100% voorstelt.
Voorbeeld 2 PERCENTAGE GASVERBRUIK
Amalia heeft de meterstanden van oktober en november opgenomen. Haar gasverbruik was in oktober 48 m 3 en in november 120 m 3
a Bereken het percentage gasverbruik in oktober ten opzichte van dat in november.
b Bereken met hoeveel procent het gasverbruik in november is gestegen ten opzichte van oktober.
Amalia verwacht dat het gasverbruik in december 25% hoger is dan in november.
c Bereken het gasverbruik in december dat Amalia verwacht.
uitwerking
a Het percentage gasverbruik bereken je met het kruisproduct.
In de vraag staat dat je het percentage (p) moet berekenen ten opzichte van het gasverbruik in november. Voor je berekening ga je uit van het gasverbruik in november.
Dit zet je dus op 100%.
oktober 48 m 3 ≙ p
november 120 m 3 ≙ 100%
p = 48 × 100 120 = 40%
In oktober was het gasverbruik 40% van het gasverbruik in november.
b Het percentage gasverbruik bereken je met het kruisproduct.
In de vraag staat dat je het percentage moet berekenen ten opzichte van het gasverbruik in oktober. Voor je berekening ga je uit van het gasverbruik in oktober. Dit zet je dus op 100%.
oktober 48 m 3 ≙ 100%
november 120 m 3 ≙ p
p = 120 × 100 48 = 250%
Het gasverbruik is in november gestegen met (250 100)% = 150%.
c Het gasverbruik bereken je met het kruisproduct.
Boven de vraag staat dat het gaat om het percentage ten opzichte van het gasverbruik in november. Voor je berekening ga je uit van het gasverbruik in november. Dit zet je op 100%. Amalia verwacht dat het volume (V) aan gas dat ze verbruikt in december 25% hoger is. Dus in totaal 125%.
november 120 m 3 ≙ 100%
december V ≙ 125%
V = 120 × 125 100 = 150 m 3
Je kunt ook eerst 25% uitrekenen (= 30 m 3) en dit optellen bij de 120 m 3 van november.
OPGAVEN
1 In een klaslokaal zijn 25 leerlingen aanwezig, onder wie 11 jongens. De 11 jongens zijn over het algemeen groter en zwaarder dan de 14 meisjes. De gemiddelde leeftijd van de leerlingen is 15 jaar en 8 maanden.
a Welke waarnemingen zijn kwantitatief?
b Welke waarnemingen zijn kwalitatief?
2 Je ziet drie meetwaarden waarin de letter m vetgedrukt is.
Geef van iedere letter m de betekenis.
a ℓ = 2,1 m
b m = 2,0 kg
c t = 2,0 ms
3 In de tekst staat zeven keer een grootheid met een meetwaarde.
Om de aarde cirkelt op een gemiddelde hoogte van 418 kilometer het internationale ruimteschip ISS. Het ISS heeft een lengte van 109 meter en weegt 445 ton. De gemiddelde snelheid van het ISS is 7,7 kilometer per seconde. Hierdoor draait het iedere 93 minuten één keer om de aarde.
De astronauten leven in een ruimte met een volume van 916 kubieke meter. De elektrische energie komt van zonnepanelen, die maximaal een vermogen van 215 kilowatt opwekken.
a Schrijf elke grootheid en de erbij behorende meetwaarde en eenheid in symbolen.
b Welke van de zeven gebruikte eenheden zijn grondeenheden?
4
Als je een telefoon koopt, let je op de geheugencapaciteit, het aantal megapixels van de camera en de capaciteit C van de batterij. Voor een batterij waar je lang mee kunt werken geldt: C = 5 Ah.
Ah is een afgeleide eenheid met A van ampère en h van uur.
a Geef twee kenmerken waaraan je kunt zien dat C een grootheid is.
Vaak wordt de capaciteit van een batterij uitgedrukt in mAh.
b Reken de capaciteit van de batterij om naar mAh.
c Reken de capaciteit van de batterij om naar grondeenheden.
5 Figuur 9 is een foto van Monique tijdens het parasailen.
De parachute zit vast aan de achterkant van de boot met een touw van 175 m lang.
Op de foto van figuur 9 is het touw aangegeven met een rode kleur. Bepaal op welke hoogte Monique zich bevindt.
Geef het antwoord in een geheel aantal meter.
Figuur 9
6 Jan heeft een computer op het oog van € 620,00. In een advertentie staat dat hij in de maand maart geen 21% btw hoeft te betalen.
a Toon aan dat Jan in maart € 512,40 betaalt.
b Heeft Jan 21% korting gekregen? Leg je antwoord uit.
7 In een supermarkt liggen allerlei soorten tomaten in verschillende verpakkingen. Welk gegeven heb je nodig om de prijzen met elkaar te kunnen vergelijken?
CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN
Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet? Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.
BEGRIPPEN
◯ kwalitatieve waarneming
◯ kwantitatieve waarneming
◯ grootheid
◯ eenheid
◯ internationale eenhedenstelsel
◯ SI
◯ basisgrootheid
LEERDOELEN
◯ grondeenheid
◯ afgeleide grootheid
◯ afgeleide eenheid
◯ voorvoegsel
◯ vermenigvuldigingsfactor
◯ lengteschaal
◯ percentage
WETEN TOEPASSEN REDENEREN
Ik kan aangeven of een waarneming kwalitatief of kwantitatief is. 1ab
Ik kan waarnemingen beschrijven met basisgrootheden of afgeleide grootheden en de bijbehorende grondeenheden of afgeleide eenheden.
Ik kan een voorvoegsel of vermenigvuldigingsfactor beschrijven en toepassen.
Ik kan berekeningen maken en redeneren met verhoudingen en percentages.
2ab, 3b, 4a 3a 7
2c, 4b 4c
5, 6a 6b
Uit kolom 7 volgt 0,001 = 1 1000 = 1 10 10 10 = 1 10 3 = 10 3 .
1.2 Rekenvaardigheden
De negatieve exponent 3 geeft dus aan dat je moet delen door 10 tot de macht +3. De manier waarop de getallen zijn genoteerd in rij 5 is het meest overzichtelijk. Deze manier wordt in de natuurwetenschappen gebruikt.
De wetenschappelijke notatie
Het getal 0,051 kun je schrijven als: 5,1 × 0,01 = 5,1 × 10 2 = 5,1 10 2. De laatste manier van opschrijven noem je de wetenschappelijke notatie. Deze notatie bestaat uit een getal met slechts één cijfer ongelijk aan nul voor de komma, gevolgd door een macht van 10. In plaats van het maalteken gebruik je een verhoogde punt. Je bent overigens op het Centraal Examen niet verplicht om de wetenschappelijke notatie te gebruiken, tenzij het in de vraag staat.
Voorbeeld 3 WERKEN MET MACHTEN VAN TIEN
a Schrijf in de wetenschappelijke notatie. 8312 0,0079
b Schrijf zonder macht van tien.
3,61 ·10 2 1,81 10 4
uitwerking
a 8312 = 8,312 × 1000 = 8,312 × 10 3 = 8,312 10 3 0,0079 = 7,9 × 0,
b 3,61 10 2 = 3,61 × 100 = 361 1,81 ·10 4 = 1,81 × 0,0001 = 0,000 181
Orde van grootte
Soms is het niet nodig of niet mogelijk om de waarde van een grootheid met een grote nauwkeurigheid op te geven. Dan noteer je alleen de orde van grootte. De orde van grootte geef je aan met uitsluitend een macht van 10. De orde van grootte leid je af met het volgende stappenplan:
■ Herschrijf het getal, indien nodig, in de wetenschappelijke notatie.
■ Laat de cijfers achter de komma weg.
■ Is het overgebleven cijfer kleiner dan vijf, dan rond je het af op 1, anders rond je af op 10.
■ Heb je afgerond op 10, herschrijf dan nogmaals in de wetenschappelijke notatie.
Voorbeeld 4 ORDE VAN GROOTTE BEPALEN
Bepaal de orde van grootte van de volgende gegevens.
a De straal van de dwergplaneet Ceres is 476 ·10 3 m.
b De massa van een elektron is 9,1 10 31 kg
uitwerking
a De orde van grootte leid je af met het stappenplan.
476 ·10 3 m = 4,76 ·10 5 m = 4 ·10 5 m
Dit rond je af naar 1 10 5 m
De orde van grootte is 10 5 m
b De orde van grootte leid je af met het stappenplan.
9,1 10 31 kg = 9 10 31 kg
Dit rond je af naar 10 ·10 31 kg = 1 × 10 1 ·10 31 = 1 ·10 30 kg.
De orde van grootte is 10 30 kg
In Binas tabel 6 staan allerlei gegevens uitgedrukt in machten van tien. Je kunt met tabel 6 controleren of de orde van grootte van een antwoord klopt met de werkelijkheid.
Rekenen met machten van 10
Bij het rekenen met machten van 10 gelden de volgende regels:
10 p 10 q = 10 p q
De eerste drie formules komen overeen met die in Binas tabel 36D als je de waarde 10 vervangt door a. De vierde formule is een combinatie van de eerste en de derde: 10
Voorbeeld 5
Bereken en schrijf in de wetenschappelijke notatie. Doe dit zowel algebraïsch als met je rekenmachine.
a 2 10 2
b 20 5 10 2
c 1,6 10 2 × 4,0 10 3
d 3,2 10 4
2,0 10 6
e 4,4 ·10 4
0,80 ·10 2
f (10 4) 3
uitwerking
Macht van tien als voorvoegsel of vermenigvuldigingsfactor
Je kunt in plaats van een voorvoegsel of vermenigvuldigingsfactor ook een macht van tien gebruiken. In Binas tabel 2 staat een tabel met vermenigvuldigingsfactoren. Een gedeelte van die tabel staat in figuur 11.
Factor Factor Naam Symbool Nederlandse naam
1 000 000 000 10 9 giga G miljard
1 000 000 10 6 mega M miljoen 1000 10 3 kilo k duizend
0,001 10 3 milli m duizendste
0,000 001 10 6 micro μ miljoenste
0,000 000 001 10 9 nano n miljardste
Figuur 11
Voorbeeld 6 MACHT VAN TIEN ALS VOORVOEGSEL
Schrijf met voorvoegsel.
a 3,5 ·10 3 m
b 0,0075 A
c 6,1 10 7 W
uitwerking
a 3,5 ·10 3 m = 3,5 km
b 0,0075 A = 7,5 ·10 3 A = 7,5 mA
c 6,1 10 7 W = 61 10 6 W = 61 MW
1.2 Rekenvaardigheden
Goniometrische verhoudingen
Als in een rechthoekige driehoek twee grootheden bekend zijn, kun je de onbekende grootheden berekenen met de stelling van Pythagoras of met een van de drie goniometrische verhoudingen. De goniometrische verhoudingen kun je onthouden met het ezelsbruggetje sos-cas-toa. In een rechthoekige driehoek geldt:
a 2 + b 2 = c 2
stelling van Pythagoras
sin(α) = overstaande zijde schuine zijde = a c sos
cos(α) = aanliggende zijde schuine zijde = b c cas
tan(α) = overstaande zijde aanliggende zijde = a b toa
Voorbeeld 8 REKENEN IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK
Mathieu fietst een helling op met een hellingshoek van 7,0°. Zie figuur 13.
De lengte van de helling is 12,3 km. Je mag ervan uitgaan dat het één lange rechte weg is.
a Toon aan dat Mathieu 1,5 km verticaal omhoog is gegaan.
b Bereken met de stelling van Pythagoras de horizontale verplaatsing van Mathieu.
7,0˚ 12,3 km
horizontale verplaatsing h
Figuur 13
uitwerking
a De hoogte bereken je met een goniometrische verhouding. De hoogte is de overstaande zijde, dus:
sin(α) = overstaande zijde schuine zijde
α = 7,0°
c = 12,3 km
Invullen levert: sin(7,0°) = h 12,3
h = 12,3 × sin(7,0°) = 1,5 km
b Stelling van Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2
a = h = 1,5 km
c = 12,3 km
Invullen levert: 1,5 2 + b 2 = 12,3 2
b 2 = 12,3 2 1,5 2 = 149
b = √ 149 = 12,2 km
OPGAVEN
8 Voer de berekeningen uit.
Noteer de uitkomst in de wetenschappelijke notatie als dat mogelijk is.
a 10 2 × 10 4 =
b 10 2 × 10 4 =
c 10 4 10 7 =
d 2 10 3 × 3 10 4 =
9 Herschrijf in de wetenschappelijke notatie.
a 4506 m
b 0,000 001 53 m
c 961 ·10 3 m
d 0,075 10 2 m
e 4,4 ·10 5 × 2,5 ·10 3 =
f 254 × 25,0 =
g 3,85 ·10 2 250 ·10 4 =
h (2 10 4) 3 =
10 Schrijf zonder voorvoegsel. Noteer de uitkomst in de wetenschappelijke notatie.
a 2,5 km
b 0,51 MPa
c 18,5 μm d 251 TJ e 33 mbar f 25 nm
11 Herschrijf zonder macht van 10 door gebruik te maken van een voorvoegsel.
a 9,4 10 6 A
b 6,11 ·10 12 s
c 1,85 10 8 m
d 2,36 ·10 7 W
12 Geef de orde van grootte van de meetwaarden.
a 9,4 ·10 6 A
b 6,11 ·10 12 s
c 853 μm
d 23,6 MW
13 Je fietst naar de top van de Mont Ventoux. De 22,5 km lange helling heeft een gemiddeld stijgingspercentage van 7,2%. Voor het stijgingspercentage geldt:
stijgingspercentage = hoogte horizontale afstand × 100%
a Voer de volgende opdrachten uit:
– Schets een rechthoekige driehoek en geef hierin de hoogte, de horizontale afstand en de hellingshoek aan.
– Toon aan dat een stijgingspercentage van 7,2% hetzelfde betekent als hellingshoek
α = 4,1°
b Bereken hoeveel km je in hoogte bent gestegen na de beklimming van de Mont Ventoux. Geef je antwoord met één cijfer achter de komma.
14 Figuur 14 is een foto gemaakt met een elektronenmicroscoop. Je ziet een stukje supergeleider (het groene staafje). Dit is met vijf platinadraadjes vastgemaakt aan gouden micro-elektroden. Figuur 14 is op schaal. In de figuur is de grootte van 5 μm aangegeven.
a Schat de orde van grootte van de dikte van het linker platinadraadje.
b Bepaal de lengte van het groene staafje.
1.2 Rekenvaardigheden
14
15 Hedvig en Roland willen op een zonnige dag de hoogte van een windmolen op Maasvlakte 2 bepalen. Ze zetten een stok schuin in de grond bij punt A. Dit is het verste punt van de schaduw van de windmolen. Zie de schets in figuur 15. De stok valt samen met de randstraal van de schaduw van de top van de windmolen.
ℓ
Figuur 15
De hoek die de stok maakt met de aarde is gelijk aan 34,0°. Met een afstandssensor meten Hedvig en Roland de lengte van de schaduw: ℓ = 367 m. Met behulp van een goniometrische verhouding berekenen ze vervolgens de hoogte van de molen.
a Bereken de hoogte die ze vinden met hun berekening. Hun leraar zegt dat de berekende hoogte niet helemaal juist is, omdat ze geen rekening houden met de dikte van de mast van de windmolen.
b Beredeneer of de berekende hoogte te groot of te klein is.
Figuur
1.3 Formules en eenheden
1.3 FORMULES EN EENHEDEN
Rijd je met een Nederlandse auto in Engeland, dan moet je steeds je snelheid van km/h omrekenen naar mph om je aan de regels te houden. Je kunt ook een snelheidsmeter met beide eenheden laten inbouwen. Hoe werk je bij natuurkunde met eenheden?
LEERDOELEN
■ Ik kan wiskundige bewerkingen uitvoeren met eenheden.
■ Ik kan berekeningen maken met de formules voor de omtrek van een cirkel, een driehoek en een rechthoek.
■ Ik kan berekeningen maken met de formules voor de oppervlakte van een rechthoek, driehoek, cirkel, bol en cilinder.
■ Ik kan berekeningen maken met de formules voor het volume van een balk, een bol en een cilinder.
■ Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formules voor snelheid en dichtheid.
■ Ik kan grootheden, eenheden, symbolen, formules en gegevens opzoeken in een tabellenboek.
Machten van eenheden
Een formule is een verkorte schrijfwijze voor het verband tussen grootheden. Je vervangt dan vaak woorden door symbolen. Zo is er een afkorting voor ‘de eenheid van’: je gebruikt dan vierkante haken rond de grootheid. In plaats van ‘de eenheid van lengte is meter’ schrijf je: [ℓ ] = m.
Een formule geeft het wiskundige verband tussen de grootheden. Er is dan ook een wiskundig verband tussen de bijbehorende eenheden. De rekenregels bij machten van 10 gelden ook bij machten van eenheden, zie de tabel van figuur 16. Daarin zie je de rekenregels met de machten van 10 en met de eenheid m.
Rekenregels
Machten van tien
Machten van meter
10 p = 1 10 p m p = 1 m p
10 p × 10 q = 10 p+q m p × m q = m p+q
(10 p) q = 10 p q
(m p) q = m p q
10 p 10 q = 10 p q m p m q = m p q
Figuur 16
Negatieve machten van eenheden
In Binas tabel 4 staat een overzicht van de meest voorkomende grootheden met symbool en eenheid. Daar vind je ook de uitspraak van de eenheid.
Op de site van Systematische Natuurkunde vind je een lijst met alle grootheden en eenheden die je tijdens het examen moet kunnen gebruiken. Veel van de eenheden in tabel 4 van Binas kun je afleiden uit de formules die het verband tussen de grootheden weergeven. Daarbij druk je een grootheid meestal uit in de grondeenheden in het SI, zoals bij snelheid en dichtheid.
De snelheid is de afstand die een voorwerp aflegt in 1 s. Het verband tussen afstand, snelheid en tijd vind je in Binas tabel 35A1.
s = v · t
■ s is de afstand in m.
■ v is de snelheid in m s 1 .
■ t is de tijd in s.
De eenheid van snelheid volgt uit de eenheden van afstand en tijd.
[s] = [v] · [t]
m = [v] s
[v] = m s = m · s 1 = m s 1
Opmerking
Noteer je de eenheid met een schuine streep, m/s, dan wordt dat bij het eindexamen goed gerekend.
Driehoek
In figuur 18 zie je driehoek ABC. In de driehoek is vanuit punt C de loodlijn naar zijde c getekend. Deze lijn staat loodrecht op zijde c en noem je de hoogtelijn h. De hoogte h is de kortste afstand tussen de top van de driehoek en de zijde ertegenover. Die zijde noem je de basis van de driehoek. Ook voor een driehoek moet je de formules voor de omtrek en de oppervlakte kennen. Er geldt:
O = a + b + c
A = 1 2 basis · hoogte
■ O is de omtrek in m.
■ A is de oppervlakte in m 2
■ a, b en c zijn de zijden van de driehoek in m.
Figuur 18
Voorbeeld 9 OPPERVLAKTE VAN EEN DRIEHOEK
In figuur 18 is zijde AC gelijk aan 4,2 cm. Hoek α = 50°. De oppervlakte van de driehoek is 7,4 cm 2
a Toon aan dat hoogte h = 3,2 cm.
b Bereken de basis AB van de driehoek.
uitwerking
a De hoogte bepaal je met een goniometrische verhouding.
Je weet een hoek en de schuine zijde en je moet de overstaande zijde weten. Die bereken je dus met de sinus:
sin(α) = overstaande zijde schuine zijde = h AC
α = 50°
AC = 4,2 cm
Invullen levert: sin(50°) = h 4,2
h = 4,2 × sin(50°) = 3,2 cm
b De basis bereken je met de formule voor de oppervlakte van een driehoek.
A = 1 2 basis · hoogte = 1 2 AB · h
A = 7,4 cm 2
h = 3,2 cm
Invullen levert: 7,4 = 1 2 AB 3,2
AB = 2 × 7,4 3,2 = 4,6 cm
Formules combineren
Je kunt de formules bij de cirkel en de bol combineren met de formule voor de diameter. Voor de oppervlakte van een cirkel ontstaat dan de formule A = 1 4 π d 2. Deze formule vind je niet in Binas. Toch mag je hem zonder uitleg gebruiken in een toets, tenzij wordt gevraagd om de formule af te leiden.
Voorbeeld 10 FORMULES COMBINEREN
De formule voor de oppervlakte van een cirkel is A = π r 2
Leid af dat je deze formule ook mag schrijven als A = 1 4 π d 2 .
uitwerking
Bij de afleiding gebruik je de formule voor de diameter van een cirkel. d = 2r
Hieruit volgt r = 1 2 d.
Invullen van r = 1 2 d in de formule A = π r 2: A = π (1 2 d) 2 = 1 4 π d 2
Eenheden afstemmen
In de formule voor de dichtheid is er een samenhang tussen de eenheid van dichtheid, de eenheid van massa en de eenheid van volume. Gebruik je de standaardeenheden, dan druk je de massa uit in kg en het volume in m 3. Hieruit volgt voor de eenheid van dichtheid kg m 3 .
Dit noem je het op elkaar afstemmen van eenheden
Het kan voorkomen dat dezelfde grootheden niet in dezelfde eenheid vermeld staan.
Bijvoorbeeld de hoogte van een cilinder wordt in m gegeven en de straal in cm. Bij het berekenen van het volume van de cilinder moet je beide grootheden in dezelfde eenheid schrijven. Welke eenheid je kiest, hangt af van de vraag. Wordt in de vraag geen eenheid geëist, dan kies je de eenheid die je het gemakkelijkst vindt.
Voorbeeld 11 EENHEDEN AFSTEMMEN
De diameter van het grondvlak van een cilinder is 4,8 cm. De hoogte is 0,45 m
Bereken het volume van de cilinder in m 3
uitwerking
Het volume van de cilinder bereken je met de formule voor het volume.
V = π r 2 · h
h = 0,45 m
De straal bereken je met de formule voor de diameter:
d = 2r
d = 4,8 cm = 0,048 m (eenheden afstemmen)
Invullen levert: 0,048 = 2r
r = 0,048
2 = 0,024 m
Invullen van r en h in de formule V = π r 2 · h:
V = π (0,024) 2 × 0,45
V = 8,1 10 4 m 3
Herleiden tot grondeenheden
Eenheden zijn niet altijd uitgedrukt in de grondeenheden in het SI. Je kunt zo’n eenheid met behulp van Binas tabel 4 en/of 5 herleiden tot de grondeenheden in het SI.
Voorbeeld
12 EENHEID HERLEIDEN TOT GRONDEENHEDEN
De grootheid druk wordt vaak weergegeven in pascal met symbool Pa. Druk de eenheid Pa uit in de grondeenheden in het SI.
uitwerking
Om eenheden te herleiden tot de grondeenheden van het SI maak je gebruik van Binas tabel 4.
In Binas tabel 4 zie je bij de grootheid druk dat de eenheid Pa gelijk is aan N m 2 . N is de eenheid van kracht. Bij kracht zie je dat de eenheid N gelijk is aan kg m s 2 Pa =
Lezen van tabellen
De tabel van figuur 20 toont een deel van de gegevens van aluminium uit Binas tabel 8. In de eerste rij staat boven elke kolom de grootheid en eventueel de temperatuur en druk waarbij die grootheid is bepaald. In de tweede rij staan de bijbehorende eenheden. Daarvoor kan een macht van 10 staan. In die gevallen moet je de getallen uit de kolom vermenigvuldigen met deze macht om de juiste waarde voor de grootheid te krijgen. De dichtheid van aluminium is dus 2,70 10 3 kg m 3
Dichtheid T = 293 K
Elasticiteitsmodulus T = 293 K
Lineaire uitzettingscoëfficiënt
Soortelijke warmte T = 293 K
Smeltpunt p = p0
Figuur 20
Voorbeeld 13 GEBRUIK BINAS
Er wordt een asfaltweg aangelegd met lengte 2,0 km, breedte 6,0 m en dikte 25 cm
Bereken hoeveel kg asfalt hiervoor nodig is.
uitwerking
Hoeveel kg asfalt nodig is, bereken je met de formule voor dichtheid.
ρ = m V
ρ = 1,2 10 3 kg m 3 (zie Binas tabel 10A)
Voorbeeld 14 EENHEID VAN SNELHEID OMREKENEN
Reken 72 km h 1 om naar m s 1 .
uitwerking
Om km h 1 om te zetten naar m s 1 gebruik je een omrekeningsfactor. De omrekeningsfactor is 3,6.
Van km h 1 naar m s 1 moet je delen door 3,6: 72 km h 1 = 72 3,6 = 20 m s 1
OPGAVEN
16 Adriaan en Ahmet kijken naar de weerkaart van figuur 22. De lijnen zijn isobaren die punten met gelijke luchtdruk met elkaar verbinden.
Volgens Adriaan geven de getallen de druk aan in mbar. Ahmet zegt dat de getallen de druk aangeven in hPa. Laat met behulp van Binas tabel 5 zien dat ze allebei gelijk hebben.
22
17 a Zoek de voortplantingssnelheid van geluid in lucht bij 20 ° C (= 293 K) op in Binas.
b Noteer die snelheid in de wetenschappelijke notatie.
c Druk die snelheid uit in km h 1
18 Voor de veerkracht geldt:
F v = C u
■ F v is de veerkracht in N.
■ C is de veerconstante in N m 1
■ u is de uitrekking in m.
Een veer met een veerconstante van 12 N m 1 wordt 3,5 cm uitgerekt. Bereken de veerkracht.
19 Ricardo en Jeroen scheppen op over de topsnelheid van hun auto. Ricardo zegt dat zijn auto een topsnelheid heeft van 250 km h 1. De auto van Jeroen haalt 160 mph. Iris hoort het verhaal aan en zegt dat haar auto een snelheid haalt van 75 m s 1 .
Zet de auto’s in volgorde van aflopende snelheid. Licht je antwoord toe.
20 Als je een stof verwarmt, stijgt de temperatuur van die stof.
Voor de temperatuurstijging geldt:
Q = c · m · ∆ T
■ Q is de hoeveelheid toegevoerde warmte in J.
■ m is de massa in kg.
■ ∆ T is de temperatuurstijging in K.
■ c is de soortelijke warmte van de stof.
Leid de eenheid van de soortelijke warmte af.
Figuur
CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN
Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet? Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.
BEGRIPPEN
◯ ‘de eenheid van’
◯ snelheid
◯ dichtheid
◯ omtrek rechthoek (formule)
◯ oppervlakte rechthoek (formule)
◯ volume balk (formule)
◯ omtrek driehoek (formule)
◯ oppervlakte driehoek (formule)
◯ diameter cirkel (formule)
LEERDOELEN
Ik kan wiskundige bewerkingen uitvoeren met eenheden.
Ik kan berekeningen maken met de formules voor de omtrek van een cirkel, een driehoek en een rechthoek.
Ik kan berekeningen maken met de formules voor de oppervlakte van een rechthoek, driehoek, cirkel, bol en cilinder.
Ik kan berekeningen maken met de formules voor het volume van een balk, een bol en een cilinder.
Ik kan berekeningen maken en redeneren met de formules voor snelheid en dichtheid.
Ik kan grootheden, eenheden, symbolen, formules en gegevens opzoeken in een tabellenboek.
◯ omtrek cirkel (formule)
◯ oppervlakte cirkel (formule)
◯ oppervlakte bol (formule)
◯ volume bol (formule)
◯ oppervlakte cilinder (formule)
◯ volume cilinder (formule)
◯ afstemmen van eenheden
◯ herleiden tot grondeenheden
◯ omrekeningsfactor
18 20, 21b
22a
22ab
21a, 22c
17c 19, 21a, 22c
17a 16, 19, 21a, 22c 1.3 Formules en eenheden
1.4 MEETONZEKERHEID EN SIGNIFICANTE CIJFERS
De temperatuur kun je meten met een koortsthermometer en met een buitenthermometer.
De koortsthermometer is veel nauwkeuriger dan de buitenthermometer. Hoe laat je dat zien in de meetwaarden?
LEERDOELEN
■ Ik kan een meetwaarde in het juiste aantal cijfers noteren en de meetonzekerheid bepalen.
■ Ik kan in een meetwaarde het aantal significante cijfers en het aantal cijfers achter de komma aangeven.
■ Ik kan de uitkomst van een berekening weergeven in het juiste aantal significante cijfers.
Meetonzekerheid
Als je een grootheid meet, vind je meestal niet precies de juiste waarde. Je hebt te maken met een meetonzekerheid. Als je de ampèremeter in figuur 23 afleest, maak je een schatting tussen twee streepjes. Zo’n schatting is soms te hoog en soms te laag.
Soms lees je de gemeten waarde af op een display. Zie figuur 24. Die lijkt heel nauwkeurig, maar de display kan maar een beperkt aantal cijfers weergeven. Het apparaat rondt af. Ook het aflezen van zo’n meetinstrument geeft een meetonzekerheid.
Figuur 23
Figuur 24
De hele klas heeft het watervolume van dit maatglas afgelezen. Het gemiddelde was 4,83 mL. De docent beoordeelt bij iedere leerling of er goed is afgelezen.
b Leg uit welke waarden de docent goed rekent.
uitwerking
a Om de marges van de meetonzekerheid aan te geven, kijk je naar de laatste decimaal. Tussen 4,825 en 4,835 mL.
b Welke waarden de docent goed rekent hangt af van de meetonzekerheid van het instrument.
De meetonzekerheid is 1 10 deel van de kleinste schaal van de maatverdeling op het maatglas. De afstand tussen twee streepjes is 0,1 mL. De meetonzekerheid is dus 0,01 mL. De docent rekent de waarden 4,82 mL, 4,83 mL en 4,84 mL goed.
Significante cijfers
In figuur 28 zie je nogmaals het blokje van figuur 26. De liniaal met mm-verdeling laat zien dat de lengte ligt tussen 6,7 en 6,8 cm. Je schat de tienden van een mm: 6,73 cm.
Omdat de liniaal met mm-verdeling nauwkeuriger is dan de liniaal met cm-verdeling noteer je één cijfer meer. Het aantal cijfers van een getal is dus een maat voor de nauwkeurigheid van het instrument. Dit aantal cijfers noem je het aantal significante cijfers. De meetwaarde 6,73 bestaat uit drie significante cijfers.
28
De nauwkeurigheid van een meetwaarde kun je niet zien aan het aantal cijfers achter de komma. Noteer je de lengte van het blokje in de grondeenheid, dan schrijf je 6,73 ·10 2 m of 0,0673 m. Het aantal significante cijfers blijft drie, maar het aantal cijfers achter de komma verschilt. Bij het bepalen van het aantal significante cijfers tellen nullen aan het begin van een getal niet mee, maar nullen aan het eind wel.
In de tabel van figuur 29 zie je een aantal meetwaarden met daarachter het aantal significante cijfers en het aantal cijfers achter de komma.
Meetwaarde
Figuur 29
Aantal significante cijfers
Aantal cijfers achter de komma
In de wetenschappelijke notatie
Aantal significante cijfers
Aantal cijfers achter de komma
Figuur
Voorbeeld 17 SIGNIFICANTE
CIJFERS BIJ OPTELLEN EN AFTREKKEN
Je meet drie lengtes: ℓ1 = 3,3 cm, ℓ2 = 5 dm en ℓ3 = 1,64 m.
Bereken de totale lengte.
uitwerking
Bij het bepalen van het aantal significante cijfers bij optellen en aftrekken moeten de eenheden op elkaar zijn afgestemd. Reken dus eerst de meetwaarden om naar dezelfde lengte-eenheid. Kies daarbij de grootste eenheid die voorkomt.
De grootste lengte-eenheid is in dit geval meter. Maak in je notatie geen gebruik van machten van tien. De tabel in figuur 31 laat zien hoe je vervolgens het juiste aantal cijfers achter de komma bepaalt.
Actie
Reken elke meetwaarde om in meter en bepaal dan pas het aantal cijfers achter de komma.
Toelichting
Antwoord
ℓ1 = 3,3 cm = 0,033 m ℓ2 = 5 dm = 0,5 m ℓ3 = 1,64 m = 1,64 m 3 1 2
Bepaal het kleinste aantal cijfers achter de komma. 1
Bereken de uitkomst. 2,173
Rond de uitkomst af op het juiste aantal cijfers achter de komma. Houd bij de afronding rekening met het eerstvolgende cijfer achter de komma.
Figuur 31
Voor de totale lengte geldt daarom:
0,033 + 0,5 + 1,64 = 2,173 = 2,2 m
Je moet afronden op één cijfer achter de komma. Het tweede cijfer achter de komma is een 7. Hierdoor wordt het eerste cijfer achter de komma een 2. 2,2
Opmerking
1 Maak je in een antwoord meerdere berekeningen achter elkaar, dan rond je tussendoor af. Je noteert bij een berekening een cijfer meer dan de regels eisen.
Reken je bijvoorbeeld verder met de oppervlakte van de tafel in voorbeeld 16 dan noteer je 1,265 ·10 4 .
Alleen de uitkomst van de laatste rekenstap rond je af op twee cijfers meer dan de regels eisen. Daarna geef je het antwoord op de vraag met het juiste aantal significante cijfers.
2 Zoek je een waarde op in Binas, dan rond je het getal af op één significant cijfer meer dan het getal met de minste significante cijfers in de berekening. Met het afgeronde getal voer je de berekening uit.
3 Bij optellen en aftrekken van meetwaarden kan het aantal significante cijfers anders worden dan in de oorspronkelijke gegevens.
62,8 m + 57,2 m = 120,0 m (en niet 120 m)
62,8 m 57,2 m = 5,6 m (en niet 5,60 m)
Significante cijfers bij rekenen met formules
Behalve grootheden staat in een formule soms ook een getal. Het getal in een formule heeft geen invloed op de significantie van de uitkomst. Daarvoor kijk je alleen naar de (meet) waarden van de grootheden.
Voor het getal pi gebruik je de pi-toets van de rekenmachine. Je rekent dan met een waarde van acht of meer cijfers. Hierdoor heeft pi geen invloed op het aantal significante cijfers van de uitkomst.
Voorbeeld
18 SIGNIFICANTE CIJFERS BIJ REKENEN MET FORMULES
De straal van een cirkel is 0,56 m.
Bereken de omtrek van de cirkel.
uitwerking
De omtrek van de cirkel bereken je met de formule voor de omtrek van een cirkel.
O = 2πr
r = 0,56 m
Invullen levert: O = 2π × 0,56 = 3,519 m
Het getal 2 en de waarde van pi hebben geen invloed op het aantal significante cijfers van de uitkomst.
De meetwaarde r bestaat uit twee significante cijfers.
Afgerond: O = 3,5 m.
Opmerkingen
1 Heb je in één meting 2 km en 15,4 m gemeten, dan is het getal 2 een exacte waarde en dus oneindig nauwkeurig.
De afstand is dan 2 × 1000,0 m + 15,4 m = 2015,4 m
Je ziet dat de nauwkeurigheid van de kilometer is aangepast aan 15,4 m.
Het aantal significante cijfers is dus 5.
Meet je eerst 2 km en daarna 15,4 m (dus twee verschillende metingen) en tel je deze bij elkaar op, dan is de uitkomst: 2 km + 0,0154 km = 2 km
2 Omdat je bij natuurkunde met meetwaarden werkt, moet je de uitkomst vanwege de meetonzekerheid altijd in decimale getallen noteren. In een uitkomst staan nooit breuken, wortels of symbolen zoals π
3 In Binas tabel 7 staan de nauwkeurige waarden van enkele natuurconstanten.
4 Een meetonzekerheid noteer je altijd met één significant cijfer.
OPGAVEN
23 In figuur 32 zie je een deel van een maatglas. De schaalverdeling is in mL.
a Lees het volume van de vloeistof af.
b Bepaal de meetonzekerheid in de meting.
24 Je ziet een aantal meetwaarden.
Uit hoeveel significante cijfers bestaat elke meetwaarde?
a 43,27 cm
b 5,30 m
c 0,086 V
d 6,1 ·10 3 ° C
e 0,400 ·10 2 s
f 2 uur, 5 min en 28 s
25 De getallen in deze opgave stellen meetwaarden voor. De eenheden zijn weggelaten.
Voer de berekeningen uit. Noteer de uitkomsten in het juiste aantal significante cijfers.
a 2,37 × 3,42
b 6,70 × 0,35
c 6,60 + 2,48 ·10 1
d 39,67 14,7
e 76,58 + 23,4
f 5,30 ·10 1 8,5 ·10 2
g 173,45 82,6
h 0,45 1,258
26 Reken om en noteer de uitkomst in de wetenschappelijke notatie.
a 4,5 mg = g
b 456,0 L = m 3
c 6,24 ·10 3 m s 1 = km h 1
d 0,567 N cm 2 = N m 2
27 Een blok hout heeft de afmetingen: ℓ = 24,2 cm, b = 6,8 cm en h = 3,2 cm. De massa van het blok is 311,3 g.
a Laat zien dat het volume van het blok gelijk is aan 5,3 ·10 2 cm 3
b Voer de volgende opdrachten uit: – Bereken de dichtheid van het hout in kg m 3. Geef het antwoord in het juiste aantal significante cijfers. – Van welke houtsoort is het blok gemaakt? Licht je antwoord toe.
28 Je hebt twee voltmeters. Elke meter heeft een meetbereik van 200 V. Dit betekent dat de meter maximaal 200 V kan meten.
Op voltmeter 1 staat de meetonzekerheid ‘3% full scale’. Dit betekent dat de meetonzekerheid bij elke meting 3% van 200 V is.
Op voltmeter 2 staat dat de meetonzekerheid ‘5% reading’ is. Dit betekent dat de meetonzekerheid gelijk is aan 5% van de afgelezen waarde.
Je leest op beide voltmeters de meetwaarde 72,4 V af.
a Toon aan dat de meetonzekerheid bij gebruik van voltmeter 2 gelijk is aan 4 V.
b Bepaal de meetonzekerheid bij gebruik van voltmeter 1.
De spanning van een blokbatterij is 9 V. Je wilt de meetonzekerheid in de meting van de spanning van de blokbatterij zo klein mogelijk houden.
c Welke meter moet je dan kiezen? Licht je antwoord toe.
Bij het meten van spanningen is er één spanning waarbij beide meters dezelfde meetonzekerheid hebben.
d Bereken bij welke spanning dat is. Geef je antwoord in drie significante cijfers.
Figuur 32
1.5 VAN METING NAAR DIAGRAM
Bij natuurkundig onderzoek doe je metingen. Vaak zoek je naar een verband tussen twee grootheden. Je noteert de metingen in een tabel. Vervolgens zet je die metingen uit in een diagram. Aan welke eisen moeten tabellen en diagrammen voldoen?
LEERDOELEN
■ Ik kan meetresultaten weergeven in de standaardvorm van een tabel en als meetpunten in de standaardvorm van een diagram.
■ Ik kan in een diagram met meetpunten het verband tussen de twee grootheden tekenen met een grafiek en aangeven of er sprake is van meetfouten.
■ Ik kan in een diagram de waarde van een grootheid aflezen of door interpoleren of extrapoleren bepalen.
■ Ik kan uit de grafiek in een diagram afleiden welk verband er is tussen twee grootheden, dat verband in een formule uitdrukken en de constante(n) in de formule bepalen.
Tabel met meetwaarden
Je onderzoekt het verband tussen de massa en het volume van een vloeistof. Je doet vloeistof in een maatglas, leest het volume af en meet de massa van het maatglas met de vloeistof. De meetresultaten van je onderzoek staan in de tabel van figuur 33. De vorm van deze tabel voldoet aan een aantal eisen. Dit noem je de standaardvorm van een tabel:
■ De bovenste rij van de tabel heet de kop van de tabel. In de kop van elke kolom staan de grootheid en de eenheid waarin de meetwaarde is uitgedrukt.
■ In de eerste kolom zet je de meetwaarden van de grootheid die jij verandert of instelt. Deze waarden staan in een logische volgorde, bijvoorbeeld oplopend. In de tweede kolom zet je waarden van de grootheid die je meet.
■ In een kolom staat altijd hetzelfde aantal cijfers achter de komma. Nullen achteraan mag je niet weglaten, want die zeggen iets over de nauwkeurigheid van de meting.
Dichtheid van vurenhout
Volume (cm 3)
0,0
20,1
40,3
60,0
79,9
1.5 Van meting naar diagram
Massa maatglas met vloeistof (g)
100,1 244,9
Figuur 33
Van tabel naar diagram
Om het wiskundige verband tussen de meetresultaten te kunnen zien, verwerk je de meetwaarden in een diagram. Dat is het totaal van assenstelsel, pijlen met bijschriften, meetpunten en grafiek.
Je kunt een diagram tekenen op papier, maar ook met je grafische rekenmachine of met een computerprogramma zoals Excel.
In figuur 34 staat het diagram van de meetwaarden in de tabel van figuur 33. Dit diagram noem je een (m,V)-diagram. De eerstgenoemde grootheid staat langs de verticale as. De vloeiende lijn die zo goed mogelijk het verband tussen de meetpunten weergeeft heet de grafiek. De wetenschappelijke naam voor de vloeiende lijn is de trendlijn
Tekenen van een diagram
Figuur 34
De vorm van het diagram voldoet aan een aantal eisen. Dit noem je de standaardvorm van een diagram:
■ De assen staan loodrecht op elkaar.
■ Langs de horizontale as staat de grootheid die je verandert of instelt. Is de tijd een van de grootheden, dan is het gebruikelijk om die altijd op de horizontale as te plaatsen.
■ Langs de verticale as staat de grootheid die je meet.
■ Bij de assen staat een pijltje met daarbij de grootheid die is uitgezet. De eenheid staat er tussen haakjes achter.
■ Langs elke as breng je een schaalverdeling aan. De schaalverdeling begint in de meeste gevallen bij nul. De schaalverdeling kies je zodanig dat de grafiek het hele diagram vult. Soms begint een schaalverdeling niet bij nul en geef je de asonderbreking aan met een scheurlijn. Zie figuur 34.
■ Om ervoor te zorgen dat je punten op de grafiek gemakkelijk kunt aflezen, kies je per schaaldeel voor stapjes van 1, 2 of 5, eventueel vermenigvuldigd met een macht van tien.
■ Elk getallenpaar in de tabel geef je in het diagram weer als meetpunt. Zorg ervoor dat het meetpunt zichtbaar blijft als je er een lijn doorheen tekent.
■ Je tekent een vloeiende lijn die zo goed mogelijk het verband tussen de meetpunten weergeeft. Door de meetonzekerheid in een meting liggen meestal niet alle punten op de grafiek. Zorg er dan voor dat er evenveel punten boven als onder de grafiek liggen. Daardoor worden meetonzekerheden uitgemiddeld. Weet je zeker dat de grafiek een rechte lijn is, dan teken je een rechte lijn tussen de meetpunten, zoals in figuur 34.
Aflezen in een diagram
Niet de meetpunten zelf, maar de grafiek laat het gemeten verband tussen de twee grootheden zien. Aflezen op de grafiek levert een nauwkeurigere waarde op dan een meting. In figuur 34 lees je af dat bij een volume van 60 cm 3 een massa hoort van 208 g, en niet de gemeten waarde 209,8 g.
Er is geen meting verricht bij V = 50 cm 3. Met behulp van de grafiek kun je wel de bijbehorende massa aflezen: 200 g
Het bepalen van een tussenliggende waarde noem je interpoleren Wil je weten wat de massa is bij een volume van 110 cm 3, dan verleng je de grafiek. Zie figuur 35. Je leest dan 250 g af. Dit noem je extrapoleren
Figuur 35
Lineair verband
De grafiek in figuur 35 is een rechte lijn. Het verband tussen massa en volume noem je dan lineair. Volgens de wiskunde geldt voor een lineair verband: y = a · x + b. Hierin zijn y en x variabelen, a is de richtingscoëfficiënt of het hellingsgetal en b is de afsnijding van de verticale as: de waarde van y als x = 0.
Als je y vervangt door de massa m en x door het volume V, ontstaat m = a V + b. Hierin zijn a en b constanten.
Je ziet dat x hoort bij de grootheid die je instelt (hier V). Die noem je de onafhankelijke variabele. De grootheid die daardoor verandert, is y (hier m) en noem je de afhankelijke variabele
De constanten a en b zijn vaak karakteristiek voor het voorwerp dat onderzocht wordt. In dit geval is dat het bekerglas met de vloeistof. Zulke constanten noem je parameters. De waarde van een parameter bepaal je met behulp van punten op de grafiek.
Diagram
Andere verbanden
Je onderzoekt bij natuurkunde vaak welk verband er bestaat tussen twee grootheden. De grafiek in een diagram geeft het verband overzichtelijk weer. Is de grafiek een rechte lijn, dan herken je meteen een lineair verband of een recht evenredig verband. Ook voor vier kromme grafieken moet je het verband tussen de grootheden herkennen:
■ kwadratisch evenredig verband
■ omgekeerd evenredig verband
■ omgekeerd kwadratisch evenredig verband
■ wortelverband
De grafieken staan in de diagrammen van de tabel van figuur 38. Een verband leid je af door van twee punten op de grafiek de x-waarden en de y-waarden met elkaar te vergelijken.
Verband kwadratisch evenredig verband omgekeerd evenredig verband omgekeerd kwadratisch evenredig verband wortelverband
Functie
Figuur 38
Constante a bepalen
De waarde van de constante a kun je op twee manieren bepalen:
■ Met behulp van de gegevens in de tabel.
– Bereken de waarde van a voor elke meting.
– Bereken het gemiddelde van de uitkomsten.
■ Met behulp van de grafiek in het diagram.
– Kies twee punten op de grafiek die niet te dicht bij elkaar liggen.
– Bereken de waarde van a voor elk punt.
– Als de uitkomsten verschillend zijn, dan neem je nog een derde punt.
– Bereken het gemiddelde van de uitkomsten.
De erbij behorende eenheid volgt uit de eenheden van de variabelen in de formule.
Voorbeeld 20 EEN KWADRATISCH EVENREDIG VERBAND ANALYSEREN
In de tabel van figuur 39 staan de resultaten van een onderzoek naar het verband tussen de valafstand s en de valtijd t.
De valafstand is kwadratisch evenredig met de valtijd.
a Toon aan dat dit blijkt uit de gegevens in de tabel van figuur 39.
In figuur 40 zijn de metingen verwerkt in een (s,t)-diagram.
b Bepaal met behulp van figuur 40 parameter a in de formule voor het kwadratisch evenredig verband in twee significante cijfers.
s (m) t (s)
0,0 0,00
1,0 0,46
2,0 0,63
3,0 0,80
4,0 0,88
5,0 1,00
6,0 1,10
7,0 1,17
8,0 1,28
9,0 1,35
Figuur 39
uitwerking
40
a Om een kwadratisch evenredig verband aan te tonen, moet je laten zien dat als x twee keer zo groot wordt, y vier keer zo groot wordt.
Op t = 0,46 s is de afstand 1,0 m. Op t = 0,88 s is de afstand 4,0 m
Als de afstand vier keer zo groot is, is de tijd (ongeveer) twee keer zo groot. Dit blijkt ook als je de tijden vergelijkt bij de afstanden 2,0 m en 8,0 m
Als de tijd twee keer zo groot wordt, wordt de afstand vier keer zo groot. Dus de valafstand is kwadratisch evenredig met de valtijd.
b De waarde van a bepaal je met behulp van de formule voor het kwadratisch evenredig verband en een of meer punten op de grafiek in het diagram.
De eenheid van a bepaal je met de eenheden van de variabelen in de formule.
De algemene formule voor een kwadratisch evenredig verband is y = a · x 2 .
Op de y-as staat de valafstand s in m
Op de x-as staat de valtijd t in s.
Invullen van s en t in de formule y = a x 2: s = a · t 2
Invullen van de eenheden voor s en t in de formule s = a · t 2: m = [a] s 2
[a] = m s 2
Figuur
De waarde van a bepaal je met een punt op de grafiek:
Op t = 1,20 s is de valafstand s gelijk aan 7,20 m
Invullen van s en t in de formule s = a · t 2:
7,20 = a × (1,20) 2
a = 5,0 m s 2
De waarde van a bepaal je bij een ander punt op de grafiek:
Op t = 0,40 s is de valafstand s gelijk aan 0,80 m.
Invullen van s en t in de formule s = a t 2:
0,80 = a × (0,40) 2
Ook hieruit volgt a = 5,0 m s 2 .
Dus a = 5,0 m s 2
Opmerking
Zijn de waarden van a niet (bijna) aan elkaar gelijk, dan bereken je a voor een derde punt. Vervolgens bereken je het gemiddelde van de drie waarden.
OPGAVEN
29 Om de waarde van een ohmse weerstand te bepalen meet Patrick de stroomsterkte als functie van de spanning. Het resultaat staat in figuur 41. Patrick weet dat bij een ohmse weerstand de grafiek in het (I,U)-diagram een rechte lijn door het punt (0,0) moet zijn. Tijdens de metingen zijn twee meetfouten gemaakt.
Voer de volgende opdrachten uit:
– Leg uit dat de getekende grafiek het verband tussen stroomsterkte en spanning goed weergeeft.
– Beschrijf welke meetfouten er gemaakt zijn.
Figuur 41
30 Nina en Birgit hebben de massa en het volume van verschillende blokjes marmer op twee manieren uitgezet in een diagram. Zie figuur 42. Ze keuren het diagram van figuur 42a af, omdat dit niet volledig voldoet aan de standaardvorm van een diagram. Figuur
1.5 Van meting naar diagram
a Aan welke regel van de standaardvorm voldoet diagram 42a niet?
Nina en Birgit zijn het niet eens over hoe de grafiek loopt in figuur 42b. Ze zien vier mogelijkheden. Deze staan in figuur 43.
Figuur 43
b Voer de volgende opdrachten uit:
– Leg uit waarom de grafiek in het diagram een rechte lijn moet zijn.
– Geef van elke mogelijkheid aan of deze goed of fout is. Licht je antwoord toe.
31 Mona heeft bij een bepaalde uitrekking u van een veer de bijbehorende trekkracht F gemeten. Haar resultaten staan in de tabel van figuur 44. u (cm) F (N)
Figuur 44
Figuur 45
a Zet de resultaten uit in figuur 45 en teken de grafiek.
b Bepaal de trekkracht op de veer bij een uitrekking van 5,0 cm.
c Laat zien dat het verband tussen de trekkracht en de uitrekking recht evenredig is. Het wiskundig verband tussen de trekkracht en de bijbehorende uitrekking is:
F = C · u.
d Bepaal de constante C
32 In figuur 46 staat een opstelling voor een lichtproef. Owen verschuift de letter L en de lens telkens zo dat hij een scherp beeld op het scherm ziet. Hij meet vervolgens de afstand van de letter L tot de lens en de afstand van het scherm tot de lens. De resultaten staan in het diagram van figuur 47.
Figuur 46
Figuur 47
Toon aan of het verband tussen de afstand van L tot de lens en de afstand van het scherm tot de lens omgekeerd evenredig is.
33 Ymke heeft het verband onderzocht tussen de weerstand R van een koperdraad en de diameter d van die draad. De resultaten staan in het diagram van figuur 48.
Figuur 48
a Laat zien dat de weerstand R omgekeerd kwadratisch evenredig is met de diameter d
b Bepaal de weerstand RB bij een diameter van 8,0 mm.
c Bepaal de weerstand RC bij een diameter van 1,0 mm.
1.5 Van meting naar diagram
Je kunt de grootte van de weerstanden RB en RC ook grafisch bepalen door de grafiek te extrapoleren. Je bepaalt de uiterste waarden door te kijken op welke manieren je de lijn kunt doortrekken. Voor weerstand RB kom je dan uit op een waarde tussen 1 mΩ en 3 mΩ.
Weerstand RB is dan het gemiddelde van deze twee waarden.
De meetonzekerheid bij weerstand RB is het verschil tussen het gemiddelde en een uiterste waarde. De meetonzekerheid voor weerstand RB is dus 1 mΩ.
Vier mogelijke meetonzekerheden voor weerstand RC zijn:
I 0,2 mΩ
II 1 mΩ
III 2 mΩ
IV 10 mΩ
d Bepaal met behulp van figuur 48 welke van deze meetonzekerheden hoort bij weerstand RC
34 In het (t,v)-diagram van figuur 49 staat de tijdsduur die nodig is om bij een bepaalde snelheid een afstand af te leggen.
a Toon aan dat het verband tussen de tijd en de snelheid gelijk is aan t · v = a
b Hoe noem je het verband tussen de tijd en de snelheid?
c Bepaal de waarde en de betekenis van parameter a in de formule.
35 Cyrinthe onderzoekt het verband tussen de slingerlengte ℓ en de slingertijd T. Haar resultaten staan in tabel van figuur 50.
a Laat met behulp van figuur 50 zien dat het verband tussen de slingertijd en de lengte een wortelverband is.
b Bepaal met behulp van figuur 50 de waarde van de constante a met bijbehorende eenheid.
49
Figuur 50
CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN
Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet? Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.
BEGRIPPEN
◯ diagram
◯ trendlijn
◯ asonderbreking
◯ grafiek
◯ interpoleren
◯ extrapoleren
◯ lineair verband
◯ onafhankelijke variabele
LEERDOELEN
Ik kan meetresultaten weergeven in de standaardvorm van een tabel en als meetpunten in de standaardvorm van een diagram.
Ik kan in een diagram met meetpunten het verband tussen de twee grootheden tekenen met een grafiek en aangeven of er sprake is van meetfouten.
Ik kan in een diagram de waarde van een grootheid aflezen of door interpoleren of extrapoleren bepalen.
Ik kan uit de grafiek in een diagram of uit de meetwaarden in een tabel afleiden welk verband er is tussen de twee grootheden, die in een formule uitdrukken en de constante(n) in de formule bepalen.
◯ afhankelijke variabele
◯ parameter
◯ recht evenredig verband
◯ kwadratisch evenredig verband
◯ omgekeerd evenredig verband
◯ omgekeerd kwadratisch evenredig verband
◯ wortelverband
29, 31a 30b
31b 33bc
34b
31cd, 33a, 34ac, 35ab 32
1.6 Diagrammen: van kromme naar rechte
1.6 DIAGRAMMEN: VAN KROMME
NAAR RECHTE
Bij een kromme grafiek is de constante a niet altijd gemakkelijk te bepalen. Hoe kun je de grootheden langs de assen zodanig aanpassen dat er een rechte grafiek ontstaat?
LEERDOELEN
■ Ik kan bij een kromme grafiek voor het verband tussen twee grootheden de x-as van het (y,x)-diagram zo aanpassen dat er een rechte lijn ontstaat en daarmee de constante a bepalen.
Verbanden onderzoeken
Kantelende liniaal
De grafiek in een diagram geeft het verband tussen twee grootheden overzichtelijk weer. Door van minstens twee punten op de grafiek de x-waarden en de y-waarden met elkaar te vergelijken, leid je het verband af. Zie de tabel van figuur 51.
x-waarde y-waarde Verband Functie
2 × zo groot
2 × zo groot
2 × zo groot 4 × zo groot
2 × zo groot 2 × zo klein
2 × zo groot
4 × zo klein
2 × zo groot √ 2 × zo groot
Figuur 51
y is recht evenredig met x y = ax
y is kwadratisch evenredig met x y = a x 2
y is omgekeerd evenredig met x y = a x
y is omgekeerd kwadratisch evenredig met x y = a x 2
y heeft een wortelverband met x y = a √x
1.6 Diagrammen: van kromme naar rechte
uitwerking
a Wat op de assen van het diagram komt te staan, beredeneer je met de formule voor het wortelverband en de formule voor een rechte lijn door de oorsprong.
T = a √ ℓ
Een rechte lijn door de oorsprong heeft de vorm y = ax.
Op de y-as zet je de slingertijd T met als eenheid s.
Op de x-as zet je √ ℓ met als eenheid √ m .
Je vult de tabel aan met een kolom √ ℓ. Zie de tabel van figuur 53. Deze nieuwe waarden zet je op de x-as uit tegen de slingertijd. Zie figuur 54.
ℓ (m) T (s) √ ℓ (√m )
0,00 0,0 0,00
0,10 0,6 0,32
0,20 0,9 0,45
0,40 1,3 0,63
0,60 1,5 0,77
0,80 1,8 0,89
1,00 2,0 1,00
1,20 2,2 1,10
1,40 2,4 1,18
Figuur 53
Figuur 54
b De waarde en de eenheid van a bepaal je met de coördinaten en de eenheden van een punt op de grafiek ver van de oorsprong.
Als √ ℓ gelijk is aan 1,20 √ m , is T gelijk aan 2,40 s Invullen van √ ℓ en T in de formule T = a · √ ℓ:
2,40 = a · 1,20
a = 2,40 1,20
a = 2,0 s √ m
OPGAVEN
36 Voor een gas geldt onder bepaalde omstandigheden de wet van Boyle: p · V = c.
■ p is de druk van het gas in N m 2 .
■ V is het volume van het gas in m 3
■ c is een constante.
In het diagram van figuur 55 is V uitgezet tegen 1 p
a Leid af wat de eenheid is van de constante c
b Bepaal de waarde van c.
c Vind je dezelfde waarde van c als je p uitzet tegen 1 V ? Licht je antwoord toe.
37 Freija hangt een blokje aan een veer. Vervolgens trekt ze het blokje een klein stukje naar beneden en laat het los. Het blokje gaat op en neer bewegen. De trillingstijd T is de tijdsduur om van de laagste stand naar de hoogste stand en weer terug naar de laagste stand te gaan. Freija meet de trillingstijd bij verschillende massa’s van het blokje. Haar resultaten staan in de tabel van figuur 56. Tussen de trillingstijd en de massa bestaat een wortelverband.
m (10 3 kg) T (s)
50 0,35
100 0,50
150 0,61
200 0,70
250 0,79
300 0,86
350 0,93
400 0,99
Figuur 56
Figuur 55
Figuur 57
a Laat zien dat de metingen bij 0,100 kg en 0,400 kg het wortelverband ondersteunen.
b Zet in figuur 57 de resultaten zo uit in een diagram dat de grafiek een rechte is.
c Bepaal met behulp van je diagram de constante a. Geef je antwoord in twee significante cijfers en met de juiste eenheid.
38 Als je fietst, ondervind je een tegenwerkende kracht van de lucht: de luchtweerstandskracht F w lucht. Er geldt:
F w,lucht = k w · A · v 2
■ F w,lucht is de luchtweerstandskracht in N.
■ k w is een constante.
■ A is de frontale oppervlakte in m 2
■ v is de snelheid in m s 1
In figuur 58 staat het diagram van de luchtweerstandskracht als functie van de snelheid in het kwadraat. De frontale oppervlakte van deze fietser is 0,40 m 2 .
Bepaal met behulp van het diagram de constante k w .
1.6 Diagrammen: van kromme naar rechte
Figuur 58
39 Als een auto hard remt, ontstaan remsporen. Bij ongelukken kan de politie uit de lengte van het remspoor afleiden met welke snelheid een auto heeft gereden. Er geldt:
v = 3,2 √ x rem .
■ v is de snelheid in m s 1
■ x rem is het remspoor in m.
Het remspoor van een auto is 50,0 m.
a Laat zien dat deze auto 81 km h 1 reed. Boy vindt het handiger om de snelheid af te lezen in een diagram. Hij heeft daarom een diagram gemaakt waarin het verband een rechte lijn is. Zie figuur 59.
b Leg uit wat op de x-as en wat op de y-as is uitgezet. Geef ook de erbij behorende eenheden aan.
Bij een nat wegdek is het remspoor 1,4× zo lang. Dan moet de formule worden aangepast.
c Stel de formule op voor het verband tussen de snelheid en het remspoor bij een nat wegdek.
40 Op een bouwplaats zie je soms een torenkraan om zware voorwerpen te verplaatsen. De torenkraan bestaat uit een mast en een kraanarm.
Zie figuur 60. Op de kraanarm van deze torenkraan geven bordjes de afstand tot de mast aan.
Bij elke afstand tot de mast hoort een maximale massa die door de torenkraan kan worden verplaatst.
In de figuren 61 en 62 staan twee diagrammen die horen bij torenkraan A.
Figuur 59
Figuur 60
Figuur 61
62
a Laat met een voorbeeld zien dat de twee diagrammen dezelfde resultaten weergeven.
De maximale lengte van de kraanarm die gebruikt kan worden is 50,0 m.
b Leg uit met welk diagram je het best de maximale massa bij 50,0 m kunt bepalen.
Voor een torenkraan B geldt: maximale massa = 338 afstand tot de mast Hierin is de parameter 338 uitgedrukt in ton m.
c Is de parameter van torenkraan B groter of kleiner dan die van torenkraan A? Licht je antwoord toe.
CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN
Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet? Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.
BEGRIPPEN
◯ rechttrekken van een grafiek (vier aanpassingen)
LEERDOELEN
Ik kan bij een kromme grafiek de x-as van het (y,x)diagram zo aanpassen dat er een grafiek met een rechte lijn ontstaat en daarmee de constante a bepalen.
36ab, 37a
36c, 37bc, 38, 40a 39bc, 40bc
Figuur
1.7 Examenwerkwoorden
1.7 EXAMENWERKWOORDEN
Je schoolcarrière sluit je af met een landelijk examen. In de examenvragen van natuurkunde kom je werkwoorden tegen waaruit je kunt afleiden hoe je een vraag moet beantwoorden. Welke werkwoorden zijn dat?
LEERDOELEN
■ Ik kan de examenwerkwoorden beschrijven en toepassen.
Antwoord nakijken
Bij het nakijken van een antwoord op een vraag houdt je docent rekening met de betekenis van bepaalde werkwoorden die in de vraag staan. Is er bijvoorbeeld een opdracht waarbij je een berekening moet maken, dan krijg je alleen het volledige aantal punten als je een berekening hebt gegeven bij de uitkomst.
Deze examenwerkwoorden komen ook bij wiskunde voor. Maar soms is de betekenis verschillend. In de lijst staat de betekenis voor natuurkunde.
Bereken
Je beantwoordt de vraag in de vorm van een berekening. De gegevens staan in de opgave en/of in Binas. Je mag niet alleen de uitkomst van de berekening geven. Je moet ook laten zien welke denkstappen je hebt gezet, welke formules of principes je hebt toegepast en welke gegevens je daarbij hebt gebruikt.
Bepaal
Bij het beantwoorden van de vraag maak je voor minstens één gegeven gebruik van een grafiek, een figuur, een constructie of andere informatiebron. Ook nu mag je niet alleen de uitkomst geven. Je moet aangeven hoe je aan die gegevens bent gekomen. Voer je met de gegevens een berekening uit, dan geldt ook wat er bij ‘Bereken’ staat.
Construeer
Je beantwoordt de opgave in de vorm van een tekening of een diagram. De tekening of het diagram moet precies kloppen met de waarden. Je gebruikt hierbij een geodriehoek en/of een passer. Je laat zien welke denkstappen je hebt gezet, welke formules of principes je hebt toegepast en welke gegevens je daarbij hebt gebruikt.
Teken
Je beantwoordt de opgave in de vorm van een tekening of een diagram. De tekening of het diagram moet precies kloppen met de waarden, maar je hoeft niet te laten zien hoe je aan het antwoord bent gekomen. Bij een diagram moet een assenstelsel met schaalverdeling zijn weergegeven. Het assenstelsel moet voorzien zijn van grootheden en eenheden.
Schets
Je beantwoordt de opgave in de vorm van een tekening of een diagram. De bedoeling van de schets moet duidelijk zijn, zonder dat de waarden precies hoeven te kloppen. Ook bij een schets hoef je niet te laten zien hoe je aan het antwoord bent gekomen.
Beredeneer, leg uit
Je beantwoordt de opgave in de vorm van een verhaaltje. Je moet laten zien welke denkstappen je hebt gezet, welke formules of principes je hebt toegepast en welke gegevens je daarbij hebt gebruikt.
Noem, geef (aan), wat, welke, wanneer, hoeveel
Je geeft alleen het antwoord, tenzij erbij vermeld staat: ‘Licht toe’. Dan moet je aangeven hoe je aan je antwoord bent gekomen.
Leid af
Je beantwoordt de vraag met behulp van wiskundige bewerkingen van de gegevens en/of bekende formules. Je moet laten zien welke denkstappen je hebt gezet, welke formules of principes je hebt toegepast en welke gegevens je daarbij hebt gebruikt. Moet je een formule afleiden, dan is een getallenvoorbeeld geen afleiding. Ook controleren of de eenheden links en rechts met elkaar in overstemming zijn is geen afleiding.
Toon aan of
Je laat aan de hand van een berekening en/of bepaling en/of redenering zien of een gegeven waarde en/of bewering correct is. Je laat zien welke denkstappen je hebt gezet, welke formules of principes je hebt toegepast en welke gegevens je daarbij hebt gebruikt. Je eindigt je antwoord met een conclusie.
Toon
aan dat / laat
zien dat
Je laat aan de hand van een berekening en/of bepaling en/of redenering zien dat een gegeven waarde en/of bewering correct is. Je laat zien welke denkstappen je hebt gezet, welke formules of principes je hebt toegepast en welke gegevens je daarbij hebt gebruikt. Nu is een conclusie niet nodig.
Schat
Je geeft de waarde van een grootheid aan, zonder deze exact te bepalen. Je kunt niet volstaan met alleen het geven van de uitkomst van de schatting. Uit je antwoord moet duidelijk blijken welke denkstappen je hebt gezet, welke formules of principes je hebt toegepast en welke gegevens je daarbij hebt gebruikt.
Noteer je antwoord in het juiste aantal significante cijfers
Je geeft een uitkomst in het juiste aantal significante cijfers passend bij de gebruikte gegevens en de uitgevoerde berekening. Bij tussentijds afronden moet je minimaal het aantal significante cijfers van de uitkomst meenemen.
Noteer je antwoord in n significante cijfers
Je geeft een uitkomst in het gevraagde aantal significante cijfers. Bij tussentijds afronden moet je minimaal het aantal significante cijfers van de uitkomst meenemen.
OPGAVEN
41 Op de foto in figuur 63 zie je een molen. Schat de hoogte vanaf de grond tot de bovenkant van het dak van de molen. Geef het antwoord in twee significante cijfers.
Figuur 63
42 Drie examenwerkwoorden hebben te maken met het vervaardigen van een figuur: construeer, teken en schets.
Beatrix hangt aan een elastiek een massa van 10 g. De lengte van het elastiek is dan 15,2 cm.
Vervolgens hangt zij een massa van 50 g erbij en meet weer de lengte. Dit doet zij vier keer. Zie de tabel van figuur 64.
Massa (g)
Figuur 64
van het elastiek (cm)
a Schets in figuur 65a het verband tussen de lengte van het elastiek en de massa van het elastiek. Gebruik een asonderbreking.
b Teken in figuur 65b het verband tussen de lengte van het elastiek en de massa aan het elastiek. Gebruik een asonderbreking. Licht je antwoord toe.
Figuur 65
43 In figuur 66 is een cd verkleind weergegeven. Op het gedeelte tussen de buitenste zwarte lijn en de dikke zwarte lijn bevindt zich het spoor. De aftasting van het spoor gebeurt met een constante snelheid van 1,3 m s 1. Voor de snelheid geldt:
v = 2πR T
■ R is de straal van de doorlopen cirkel in m.
■ T is de tijd voor het doorlopen van een rondje in s. Het afspelen van de cd gebeurt van binnen naar buiten. Beredeneer of de tijd T tijdens het afspelen toeneemt, afneemt of gelijk blijft.
44 Xavier vult een glazen cilinder met 2,5 L water. Het grondvlak is een cirkel met binnendiameter 10,4 cm.
a Toon aan dat de oppervlakte van de cirkel gelijk is aan 84,9 cm 2. Geef je antwoord in het juiste aantal significante cijfers.
b Bereken de hoogte van het water in de cilinder.
45 De jan-van-gent is de grootste zeevogel van het Noordzeegebied. Hij leeft van vis, die hij vangt door middel van een duik vanuit de lucht. De ene keer laat hij zich vallen en de andere keer doet hij een krachtige vleugelslag tijdens de val. Laat hij zich alleen maar vallen, dan geldt voor het verband tussen de snelheid en de valhoogte:
v 2 = 19,6h
■ v is de snelheid in m s 1 .
■ h is de hoogte in m.
Bij een duik vanaf 30 m hoogte komt een jan-van-gent met een snelheid van ruim 100 km h 1 in het water terecht.
a Laat zien of deze jan-van-gent tijdens het duiken een vleugelslag heeft gemaakt.
Het getal 19,6 is een constante.
b Leid de eenheid van deze constante af.
46 Rien rijdt in een auto met een snelheid van 50 km h 1. Plotseling ziet hij een bal de weg oprollen en hij begint te remmen. Voor de stopafstand van deze auto geldt:
s = 0,06 v 2 + 0,8v
■ s is de stopafstand in m.
■ v is de snelheid in m s 1
Voor snelheden van 0 tot 100 km h 1 staat de stopafstand in het diagram van figuur 67.
a Bepaal de stopafstand bij een snelheid van 50 km h 1. Geef je antwoord in twee significante cijfers.
b Bereken de stopafstand bij een snelheid van 120 km h 1. Geef je antwoord in twee significante cijfers.
Figuur 66
Figuur 67
CHECKLIST BEGRIPPEN EN LEERDOELEN
Ga na of je de begrippen en leerdoelen kunt uitleggen en of je vragen daarover op de drie verschillende niveaus kunt maken. Beheers je een leerdoel nog niet? Bestudeer dan de daaraan gekoppelde opgaven nog een keer.
LEERDOELEN WETEN TOEPASSEN REDENEREN
Ik kan de examenwerkwoorden beschrijven en toepassen. 42a 42b, 44ab, 46ab 41, 43, 45ab
VERDER WERKEN Je kunt online nog meer opgaven maken bij dit hoofdstuk. Je kunt kiezen tussen Oefenen en Uitdaging.
Is een grafiek een kromme lijn, dan kun je daarvan in sommige gevallen met behulp van een coördinatentransformatie een rechte lijn maken.
In (examen)vragen staan werkwoorden met een specifieke betekenis. Die geven aan op welke manier je de vraag moet beantwoorden.
Formules en tabellen
snelheid s = v · t
dichtheid
omtrek rechthoek oppervlakte rechthoek
volume balk
omtrek driehoek oppervlakte driehoek
diameter cirkel
= m V
O = 2ℓ + 2b
A = ℓ · b
V = ℓ b h
O = a + b + c
A = 1 2 basis · hoogte
omtrek cirkel oppervlakte cirkel d = 2r O = 2πr A = π r 2 = 1 4 π d 2
oppervlakte bol volume bol A = 4π r 2 V = 4 3 π r 3
oppervlakte cilinder
volume cilinder
lineair verband
A = 2πr · h + 2π r 2
V = π r 2 h
y = a · x + b recht evenredig verband y = a · x
kwadratisch evenredig verband y = a x 2
omgekeerd evenredig verband y = a 1 x
omgekeerd kwadratisch evenredig verband y = a · 1 x 2
wortelverband y = a √ x stelling van Pythagoras a 2 + b 2 = c 2
sin(α) = overstaande zijde schuine zijde
goniometrische verhoudingen
cos(α) = aanliggende zijde schuine zijde
tan(α) = overstaande zijde aanliggende zijde
■ Een deel van de formules kun je terugvinden in Binas tabel 35A1, 35C1, 36B en 36D.
■ In Binas tabel 1 tot en met 7 staan veel gegevens die betrekking hebben op de onderwerpen in dit hoofdstuk.
■ In Binas tabel 8 tot en met 12 staat een overzicht van de eigenschappen van verschillende stoffen.
ZELFTOETS Met de zelftoets test je of je de belangrijkste leerdoelen van dit hoofdstuk beheerst.
EINDOPGAVEN
47 Vuurtorens
Schiermonnikoog heeft twee vuurtorens: de Zuidertoren en de Noordertoren. Pita gebruikt een afstandssensor om de lengte van de schaduw van de Zuidertoren te meten. Een afstandssensor zendt een laserstraal uit en meet de tijd die de laserstraal nodig heeft om uiteindelijk weer terug te komen bij de sensor. Daarmee bepaalt de sensor de afstand tussen de sensor en het voorwerp en toont die op een display. Pita leest op het display
67,5 m af. De snelheid van het laserlicht vind je in Binas tabel 7A.
a Bereken de tijd in µs die de afstandssensor heeft gemeten. Geef het antwoord in het juiste aantal significante cijfers.
De hoek tussen de rand van de schaduw van de top van de vuurtoren en de aarde is 25,0°.
b Toon met de gegevens in de opgave aan dat de hoogte van de Zuidertoren 31,5 m is.
Op hetzelfde tijdstip meet Jacob de lengte van de schaduw van de Noordertoren. Deze is 77,2 m
c Bereken hoeveel procent groter de Noordertoren is ten opzichte van de Zuidertoren.
Pita en Jacob hebben hun metingen uitgevoerd op 2 april 2024. In figuur 69 zie je het verband tussen de hoek die de zon met de horizon maakt en de tijd op deze dag.
Figuur 69
d Op welk(e) tijdstip(pen) kunnen Pita en Jacob hun metingen hebben uitgevoerd? Licht je antwoord toe.
48 Heien
Aan de rand van een stad zijn bouwvakkers bezig om met een heistelling heipalen de grond in te slaan. Zie figuur 70. Wende en Nick zien eerder het heiblok op de heipaal vallen dan dat ze de bijbehorende klap horen. Dat komt doordat de lichtsnelheid ongeveer een miljoen keer groter is dan de geluidsnelheid.
Wende en Nick meten hoe groot het tijdverschil is op verschillende afstanden van de heistelling. De afstand meten ze met een meetwiel. Zie figuur 71. De diameter van het meetwiel is 32,0 cm.
a Bereken de omtrek van het meetwiel in meter. Nick staat op 600 m afstand en loopt naar de heistelling toe. Wende begint bij de heistelling en loopt in de richting van Nick.
De resultaten van hun metingen staan in het diagram van figuur 72. De resultaten van Wende zijn weergegeven met een × en die van Nick met een •.
b Bepaal met behulp van de resultaten van Wende de snelheid van het geluid in lucht.
Nick en Wende lopen allebei verder. Op een bepaald tijdstip horen ze een klap en op hetzelfde moment zien ze dat het heiblok op de heipaal neerkomt.
c Toon met behulp van de resultaten van Nick aan dat zij dan op 400 m van de heistelling staan.
d Bepaal met de grafiek van Wende hoeveel tijd er verloopt tussen twee opeenvolgende slagen van het blok op de heipaal.
Figuur 72
Figuur 70
Figuur 71
